\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}


\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm


\date{2010-12-28}
\title{Задание по Латеху}
\author{Байдаков Денис}

\begin{document}
\maketitle

\section{Основные группы конкретных систем уравнений.}
\setcounter{subsection}{7}
\subsection{Обыкновенные дифференциальные уравнения:}
\subsubsection{Система уравнений первого порядка.}
Рассматривается уравнение типа $ \text{E\ensuremath{\left(1,M,1,M\right)}}$.В этом случае  $ X=R\left(x\right),Y=R^{m+1}\left(z\right),где z=\left(x,y\right) $ и  первое продолженное пространство есть $ Y{}_{1}=R{}^{m}\left(y\right) $. Если предположить, что  отображение е, с помощью которого задаётся такое уравнение  $ e\left(x,y,y=0\right) $,удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции по отношению к  y, то можно разрешить относительно y. В дальнейшем предполагается, что это  сделано и уравнение Е задано в нормальной форме 
	\begin{equation}
		\begin{array}{l l}
		(y=f(x,y)) 
		\end{array}
	\end{equation}
с некоторым отображением $ F:X \rightarrow R^{m+1} $ класса $ C{}_{\infty}\left(Z\right) $ . В координатной форме обычно полагают   $ y=(y_{1},....,y_{m}), y=(y'_{1},...,y'_{m}) $ и $ f=(f_{1},...,f_{m}) $ и записывают уравнение $ \left(1.1\right) $ в виде системы  
	\begin{equation}
		 y'_{k}=f_{k}(x,y_{1},...,y_{m}),     k=(1,...,m) , 
	\end{equation}
которая называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.  В дальнейшем рашется задача об отыскании и изучении структуры основной  алгебры Ли уравнения $ \left(1.1\right) $. 


\subsubsection{Определяющие уравнения}
 Применяется алгоритм 5.8. Оператор, допускаемый  уравнением $ \left(1.1\right) $, ищется в виде
	\begin{equation}
		\begin{array}{l l}
		 \zeta*\delta=\xi\delta_{x}+\eta*\delta_{y}
		\end{array}
	\end{equation}
с компонентами $ \xi:Z\rightarrow X $ и $ \eta:Z\rightarrow Y $.С помощью оператора полного дифференцирования $ \underset{1}{D}=\delta_{x}+\underset{1}{y}*\delta_{y} $ строится первое продолжение оператора (2.1)
	\begin{eqnarray}
	&&\nonumber	\underset{1}{\zeta}*\delta=\xi\delta_{x}+\eta*\delta_{y}+\underset{1}{\eta}*\delta,\\
	&&\nonumber	 \underset{1}{\eta}=\underset{1}{D}\eta-\underset{1}{y}D\xi=\delta_{x}\eta+\delta_{y}\eta<\underset{1}{y}>-\underset{1}{y}\delta_{x}\xi-(\underset{1}{y}*\delta_{y}\xi)\underset{1}{y}
	\end{eqnarray}
Результат действия оператора $\zeta*\delta $ на уравнение (1.1)
	\begin{equation}
	\nonumber	\underset{1}{\eta}=\xi\delta_{x}f+\eta\cdot\delta_{y}f
	\end{equation}
после перехода на многообразие (1.1) даёт условие инвариантности
	\begin{equation}
	\nonumber	\partial_{x}\eta+\partial_{y}<f>-f\partial_{x}\xi-\left(f\cdot\partial_{y}\xi\right)f=\xi\partial_{x}f+\partial_{y}f<\eta>.
	\end{equation}
Здесь этап 5.4 $ \left(d\right) $ расщепления условия инвариантности отсутствует, так как в этом условии "свободных" координат вектора $ \underset{1}{y} $ нет.Поэтому здесь условие инвариантности совпадает с определяющим уравнением DE для уравнения (1.1).


\subsubsection{Анализ общего решения.}
В координатной форме определяющее уравнение DE представляет собой систему из m скалярных уравнений для m+1 неизвестных функция-координат вектора $ \zeta=\left(\xi,\eta^{1},\ldots,\eta^{m}\right) $. Поэтому одну из этих функций можно, вообще говоря, задать произвольно, в силу чего основная алгебра Ли уравнения $ \left(1.1\right) $ наверное будет бесконечномерной.
Это ясно обнаруживается, если ввести новое отображение $ \beta:Z\rightarrow Y $, связанное с вектором $ \zeta=\left(\xi,\eta\right) $ формулой
	\begin{equation}
		\eta=\xi f+\beta.
	\end{equation}
В силу выражений для производных этого вектора
	\begin{equation}
		\partial_{x}\eta<f>=\left(f*\partial_{y}\xi\right)f+\xi\partial_{y}f<f>+\partial_{y}\beta<f>
	\end{equation}
определяющее уравнение упрощается до
	\begin{equation}
		\partial_{x}\beta+\partial_{y}\beta<f>=\partial_{y}f<\beta>
	\end{equation}
Если ввести ещё векторные поля на пространстве $ \mathbb{Z} $
	\begin{equation}
		\varphi=\left(1,f\right),\beta_{1}=\left(0,\beta\right),
	\end{equation}
то окончательно определяющее уравнение запишется с использованием символа коммутатора в следующей изящной форме:
	\begin{equation}
		\left[\varphi,\beta_{1}\right]=0.
	\end{equation}
Отображение $ \beta_{1}=0 $ является решением уравнения $ \left(3.2\right) $. С этим решением формула $ \left(3.1\right) $ даёт $ \eta=\xi f $ .Отсюда следует вывод:уравнение $ \left(1.1\right) $ допускает оператор
	\begin{equation}
		\varphi\cdot\partial=\partial_{\text{x}}+f\cdot\partial_{y}
	\end{equation}
и все операторы вида $ \zeta_{0}\cdot\partial=\xi\varphi\cdot\partial $ с любым отображением $ \xi:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{R}} $ . Так как для любых $ \xi,\xi^{'} $ коммутатор
	\begin{equation}
		\left[\xi\varphi,\xi^{'}\varphi\right]=\left(\xi\varphi\cdot\partial\xi^{'}-\xi^{'}\varphi\cdot\partial\xi\right)\varphi
	\end{equation}
есть снова вектор вида $ \zeta_{0} $ , то операторы $ \zeta_{0}\cdot\partial $ образуют алгебру Ли. Эта бесконечномерная алгебра Ли будет обозначаться $ L^{\infty} $. Если из оператора $ \left(2.1\right) $ вычесть $ \xi\varphi\cdot\partial $,то получится оператор, в котором компонента $ \xi=0 $. Очевидно, что множество $ L{}^{0} $ операторов с $ \xi=0 $, т.е. операторов вида $ \beta_{1}\cdot\partial=\beta\cdot\partial_{y} $ является прямым дополнением к $ L^{\infty} $ в основной алгебре Ли LE, так что $ LE=L^{0}\bigoplus L^{\infty} $. To be continued
\end{document}